Перельман Яков Исидорович - Тридцать простых приемов устного счета

Тридцать простых приемов устного счета

Составил Я. И. ПЕРЕЛЬМАН

Ленинград.

1941

От составителя

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Умножение на однозначное число

ї 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 в 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 в 8 = 160), затем единицы (7 в 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34 в 7 = 30 в 7 + 4 в 7 = 210 + 28 = 238(
47 в 6 = 40 в 6 + 7 в 6 = 240 + 42 = 282(

ї 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 в 9:

108

104

117

112

126

105

120

135

112

128

144

102

119

136

153

108

126

144

162

114

133

152

171

Зная эту таблицу, можно умножение, например, 147 в 8 выполнить в уме так:

147 в 8 = 140 в 8 + 7 в 8 = 1120 + 56 = 1176.

ї 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:

225 в 6 = 225 в 2 в 3 = 450 в 3 = 1350

Умножение на двузначное число

ї 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют( действие, как указано в ї 1. Например:

6 в 28 = 28 в 6 = 120 + 48 = 168

ї 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 в 12 = 29 в 10 + 29 в 2 = 290 + 58 = 348

41 в 16 = 41 в 10 + 41 в 6 = 410 + 246 = 656

(или 41 в 16 = 16 в 41 = 16 в 40 + 16 = 640 + 16 = 656)

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

ї 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 в 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. ї 3). Например:

45 в 14 = 90 в 7 = 630

Умножение на 4 и на 8

ї 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112 в 4 = 224 в 2 = 448

335 в 4 = 670 в 2 = 1340

ї 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217 в 8 = 434 в 4 = 868 в 2 = 1736

(Еще удобнее: 217 в 8 = 200 в 8 + 17 в 8 = 1600 в 13 = 1736).

Деление на 4 и на 8

ї 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76 : 4 = 38 : 2 = 19

236 : 4 = 118 : 2 = 59

ї 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58

516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2

Умножение на 5 и на 25

ї 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на

, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74 в 5 = 740 : 2 = 370

243 в 5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74 в 5 =

в 10 = 370

ї 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на

100

, т. е. -- если число кратно 4-х -- делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72 в 25 =

в 100 = 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то

при остатке:

приписывают к частному

Основание приема ясно из того, что

100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; 300 : 4 = 75

Умножение на 11/2, на 11/4, на 21/2, на 3/4

ї 13. Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34 в 11/2 = 34 + 17 = 51

23 в 11/2 = 23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

ї 14. Чтобы устно умножить число на 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:

48 в 11/4 = 48 + 12 = 60

58 в 11/4 = 58 + 141/2 = 721/2 или (72,5)

ї 15. Чтобы устно умножить число на 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:

18 в 21/2 = 36 + 9 = 45

39 в 21/2 = 78 + 191/2 = 971/2 (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18 в 21/2 = 90 : 2 = 45

ї 16. Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делят пополам. Например:

30 в 3/4 =

30 + 15

= 221/2

(или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

ї 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что 10 в 11/2 = 15). Например:

18 в 15 = 18 в 11/2 в 10 = 270(

45 в 15 = 450 + 225 = 675

ї 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что( 100 в 11/4 = 125). Например:

26 в 125 = 26 в 100 в 11/4 = 2600 + 650 = 3250

47 в 125 = 47 в 100 в 11/4 = 4700 +

4700

= 4700 + 1175 = 5875

ї 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100 в 3/4 = 75). Например:

18 в 75 = 18 в 100 в 3/4 = 1800 в 3/4 =

1800 + 900

= 1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом ї 6:

18 в 15 = 90 в 3 = 270

26 в 125 = 130 в 25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

ї 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62 в 9 = 620 -- 62 = 600 -- 42 = 558

73 в 9 = 730 -- 73 = 700 -- 43 = 657

ї 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87 в 11 = 870 + 87 = 957

Деление на 5, на 11/2, на 15

ї 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68 : 5 =

136

= 13,6

237 : 5 =

474

= 47,4

ї 23. Чтобы устно разделить число на 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:

36 : 11/2 = 72 : 3 = 24

53 : 11/2 = 106 : 3 = 351/3

ї 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16

462 : 15 = 924 : 30 = 30

= 304/5 = 30,8

(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)

Возвышение в квадрат

ї 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 в 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

252; 2 в 3 = 6; 625

452; 4 в 5 = 20; 2025

1452; 14 в 15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы

(10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25

ї 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25 14,52 = 210,25

0,352 = 0,1225, и т. п.

ї27. Так как 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4, то приемом ї25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1/2:

(81/2)2 = 721/4

(141/2)2 = 2101/4 и т. п.

ї 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а Ђ b)2 = а2 + b2 Ђ 2аb. Например

412 = 402 + 1 + 2 в 40 = 1601 + 80 = 1681

692 = 702 + 1 -- 2 в 70 = 4901 -- 140 = 4761

362 = (35 + 1)2 = 1225 + 1 + 2 в 35 = 1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле

(а + b) (а -- b) = а2 -- b2

ї 29. Пусть требуется выполнить устно умножение

52 в 48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) в (50 -- 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50 + 2) в (50 -- 2) = 502 -- 22 = 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой -- в виде разности тех же чисел:

69 в 71 = (70 -- 1) в (70 + 1) = 4899(

33 в 27 = (30 + 3) в (30 -- 3) = 891(

53 в 57 = (55 -- 2) в (55 + 2) = 3021(

84 в 86 = (85 -- 1) в (85 + 1) = 7224

ї 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

71/2 в 61/2 = (7 + 1/2) в (7 -- 1/2) = 483/4

113/4 в 121/4 = (12 -- 1/4) в (12 + 1/4) = 143

Полезно запомнить

37 в 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37 в 6 = 37 в 3 в 2 = 222

37 в 9 = 37 в 3 в 3 = 333

37 в 12 = 37 в 3 в 4 = 444

37 в 15 = 37 в 3 в 5 = 555 и т. д.

7 в 11 в 13 = 1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 в 13 = 1001

91 в 11 = 1001

77 в 26 = 2002

91 в 22 = 2002

77 в 39 = 3003

91 в 33 = 3003(

и т. д.

143 в 7 = 1001

143 в 14 = 2002

143 в 21 = 3003

и т. д.

В нашей книжечке указаны только ростейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

УКАЗАТЕЛЬ

Умножение

на однозначное число

її 1--3

на двузначное число

її 4--6

разности на сумму

її 29--30

на 3/4

ї 16

11/4

ї 14

11/2

ї 13

21/2

ї 15

ї 7

ї 11

ї 8

ї 20

ї 21

ї 17

ї 12

ї 19

125

ї 18

Деление

на 11/2

ї 23

ї 9

ї 22

ї 10

ї 24

Возвышение в квадрат

її 25--28